Otro de los grandes asuntos que el foro de Gazte Komunistak suscita es el de la dialéctica porque, según nos dice un participante, las leyes de la dialéctica no son universales, sólo se pueden aplicar a las sociedades, pero no a la naturaleza. Cuando un meteorito cae a la tierra, ¿dónde está la dialéctica?, pregunta.A finales del siglo XVII Isaac Newton (1642-1727) y Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) aportaron a la ciencia una de sus herramientas más poderosas, el cálculo infinitesimal, que luego dio lugar al análisis matemático, a las derivadas y las integrales. De la extraordinaria importancia de este avance del saber, Engels dijo lo siguiente: De entre todos los progresos teóricos, no cabe duda de que ninguno se encuentra a tan gran altura, como triunfo de la mente humana, como el descubrimiento del cálculo infinitesimal en la última mitad del siglo XVII. Si existiese alguna hazaña pura y exclusiva de la inteligencia humana, debemos encontrarla aquí (1).Con la dialéctica pasa lo mismo que con el burgués Jourdain al que se refería la obra de Molière. Lo mismo que el burgués hablaba en prosa sin saberlo, todas las ciencias -sin excepción- hablan dialéctica inconscientemente. No sólo las ciencias sociales y las ciencias naturales, sino también la lógica formal, la matemática y la geometría.
Vamos a comprobarlo con una de las partes más importantes de la matemática: el análisis.
Sin embargo, desde su mismo origen, el cálculo infinitesimal padeció un aluvión de dudas que aún no ha remitido por sus supuestos débiles fundamentos científicos. El concepto mismo de infinitesimal (cantidad divisible evanescente la llamaba Newton) constituía su punto más débil ya que conducía resultados exactos por medios aparentemente inexactos y muy poco matemáticos, a saber, despreciando valores muy pequeños pero en ningún caso iguales a cero.
Sin embargo, atraídos por la potencia del método, a partir del siglo XVIII los matemáticos se lanzaron al empleo de la nueva herramienta, utilizando el análisis de una manera ciega, guiados por la práctica. El enorme éxito obtenido para resolver un gran número de problemas, no estuvo acompañado, contrariamente a la imagen de exactitud y rigor que transmite la matemática, por una comprensión a prueba de críticas de lo que se hacía. Los matemáticos parecían convertirse en tenderos generosos que despreciaban los céntimos para redondear los precios. El cálculo pareció algo muy poco riguroso, una mera aproximación cuantitativa a la realidad, aunque de una utilidad impecable. No se sabía muy bien por qué, pero funcionaba.
Leibniz era plenamente consciente de los problemas y de su incapacidad para resolverlos con un mínimo rigor y, en una declaración muy poco habitual en él, confesaba: Las cosas infinitas lo más que podemos hacer es conocerlas confusamente (2).
Una vez más la práctica superaba a la teoría, pero sólo porque los fundamentos de ésta no pueden encontrarse más que en el materialismo dialéctico. Marx dedicó a este asunto sus Manuscritos matemáticos, aún no publicados en castellano, y también Engels defendió la legitimidad científica del cálculo frente a sus críticos. Puede decirse que aún hoy son los únicos porque para los matemáticos la ciencia no puede fundamentarse en la filosofía, a la que desprecian. Y para ellos el concepto de infinitesimal no es matemático sino filosófico de manera que prefieren dejar a su ciencia sin ninguna clase de fundamento.
La matemática, escribió Engels, penetró entonces en el terreno de la dialéctica (4). Se impuso de manera definitiva la noción de magnitud variable o, como la llamaba Newton, fluxión o flujo, que las ciencias deben considerar de forma dinámica. Así por ejemplo, no tiene sentido hablar de salarios ni de beneficios si no se concreta que los salarios son cantidades mensuales y los beneficios son cantidades anuales. En cuanto los conceptos definen estados, son fluentes, y en cuanto cambian, son fluxiones. Así, el capital, en cuanto estado, se descompone en sus dos partes integrantes: capital constante y capital variable. Pero en cuanto flujo, el capital se divide en capital fijo y capital circulante. En un año determinado, el capital depende del capital del año anterior más la plusvalía acumulada. En el primer caso el capital se mide en unidades de valor, es un fluente, mientras que en el segundo se mide en unidades de valor por unidad de tiempo, y es una fluxión.
Nuestro mundo está en perpetuo flujo. El capital describe una rotación en el que cambia de forma, cambia cualitativamente y cambia también cuantitativamente, se incrementa con la plusvalía y vuelve al punto de partida. El esfuerzo por comprender cuantitativamente este movimiento y crecimiento da lugar a la creación del cálculo infinitesimal, la derivada y la integral.
Pero la potencia del cálculo infintesimal no sólo concierne al cambio en las magnitudes sino a la velocidad con la que cambian, lo que la matemática denomina como derivada con relación al tiempo, que a su vez es también variable y posee también sus fluxiones y así sucesivamente.
La imagen intuitiva más corriente que puede asociarse a la fluxión es la velocidad. La velocidad es el cociente del espacio recorrido dividido por el tiempo invertido en recorrerlo. Si hemos tardado una hora en recorrer 100 kilometros, la velocidad ha sido de 100 kilómetros por hora. Pero esto es sólo una aproximación porque no aporta más que un promedio; para aproximaciones más cercanas e incluso instantáneas, necesitamos intervalos más pequeños de tiempo y para el cálculo de las velocidades instantáneas, es decir, de fluxiones, se exigen variaciones infinitesimales de los fluentes. En términos matemáticos, la velocidad instantánea es la derivada del espacio respecto al tiempo y la aceleración es la derivada segunda o derivada de la derivada.
De esta forma determinamos la relación entre los fluentes dada la relación entre las fluxiones. La potencia del cálculo es tal que la operación inversa también es posible.
El filósofo y científico alemán elaboró una teoría donde la noción de infinito desempeñaba un lugar central. El infinitesimal es una foma de infinito que alude a lo infinitamente pequeño, pero sin alcanzar nunca el cero. Ambos tipos de números (infinitos e infinitesimales) tienen la misma propiedad fundamental, que los antiguos filósofos griegos (5) describían afirmando que eran como esponjas absorbentes: lo finito se aniquila en presencia de lo infinito. Ante el infinito cualquier número finito es como cero: si al infinito le quitamos uno de sus elementos, sigue siendo infinito, y si le añadimos un elemento más, sigue siendo igual de infinito. Lo mismo le pasa al cero: cualquier número finito multiplicado por cero es igual a cero, se anula. Una cantidad es infinitesimal respecto a otra, no comparable con ella, cuando al sumarse a ella no logra aumentarla, ni disminuirla cuando se les resta. Luego, podría decirse que es nula respecto a ella. Una playa no deja de serlo porque nos llevemos un poco de arena pegada a los pies.
Pero a diferencia de Newton, en Leibniz los infinitesimales no son instantes de tiempo ni nada físico sino algo mucho más general y dialéctico: la interrelación universal de los fenómenos donde cualquier cambio en la naturaleza provoca reacciones en su entorno, de manera que incluso el más insignificante de los cambios trae consecuencias. Todo cuerpo se resiente de todo lo que se haga en el universo, afirma Leibniz (6). En un mundo denso en el que el vacío no existe, cualquier movimiento provoca un efecto sobre los cuerpos por más distantes que se encuentren. Esto quiere decir que lo infinitesimal no es algo despreciable, un resto insignificante, sino algo a tomar en consideración.
También a diferencia de Newton, que era atomista, Leibniz es sinequista, es decir, que defiende la infinita divisibilidad de la materia: todo continuo es divisible en partes que, a su vez, son siempre divisibles. Considera esta cuestión como la dificultad fundamental de la filosofía, el famoso laberinto de la composición del continuo (7), hasta el punto de que llega a hablar de una ley de continuidad que se expresa en su principio: la materia nunca da saltos (8).
A diferencia de la física, dominada por el atomismo, el sinequismo está sólidamente implantado en la matemática desde la época de Arquímedes (287-212 a.n.e.) iniciador del postulado de continuidad. Después de los pitagóricos, en la matemática no ha habido verdadero atomismo; más bien toda la matemática es un esfuerzo de siglos por comprender el continuo y trabajar con él.
El postulado de continuidad de Arquímedes, que se encontraba ya apuntado en Euclides (9), establece la divisibilidad infinita de los entes matemáticos y puede formularse gráficamente diciendo que una magnitud que evoluciona de un valor a otro, en su recorrido toma todos los valores intermedios entre ambos. Es como si para cruzar un río siempre tuviéramos un puente que nos evitara tener que saltar por el lecho de una piedra a otra.
Pero el sinequismo de Leibniz y de los matemáticos es erróneo; el postulado de Arquímedes es a la vez un postulado de la continuidad y de la discontinuidad. Para cruzar los ríos matemáticos tenemos puentes tanto como piedras pero, además, sucede que, en ocasiones, una orilla no tiene nada que ver con la otra; el puente une extremos que no son homogéneos.
dx = x1 – x0
dy = y1 – y0
Para calcular la derivada de una función cualquiera, por ejemplo la curva parabólica y = x2, podemos considerar que una variación infinitesimal dx produce una variación también infinitesimal dy: y+dy = (x+dx)2 = x2+2xdx+d2x; al restar (diferenciar) esta expresión de la ecuación original desaparece y de un lado y x2 del otro por ser iguales y, en consecuencia: dy= 2xdx+d2x. Entonces llegaba la ficción: Newton y Leibniz despreciaban el sumando infinitesimal d2x porque estimaban que era cero y, por tanto, quedaba: dy= 2x dx. Luego, dividiendo ambos lados de la ecuación por dx obtenían la derivada: dy/dx = 2x.
Esta simple operación matemática pone de manifiesto la concurrencia de tres contradicciones simultáneas:
el tratamiento de las líneas curvas como si fueran líneas rectas (10). La derivada 2x ya no es una parábola sino una recta cuya pendiente es constante, lo que significa que en el intervalo infinitesimal no varía aunque varíen x e y. Esa recta es la tangente a la curva en el punto de partida y representa lo que variaría la posición en un intervalo si lo hiciera uniformemente, es decir, con una rapidez constante. Por tanto, no era más que el cálculo de un aumento medio.
la consideración como igual de lo que es desigual. La aproximación se expresa mediante una ecuación contradictoria: x+dx=x que sólo es posible si dx es cero. Pero dx no es cero sino algo infinitesimal, es decir, que es casi cero pero nunca exactamente igual a cero. Sin embargo, este pequeño error se despreciaba afirmando al mismo tiempo que x varía y que esa variación es cero. Los infinitesimales son a la vez el ser y la nada. Decía Engels que son la negación de las magnitudes variables, una relación cuantitativa sin cantidad (11).
la descomposición del movimiento continuo en movimientos discontinuos, sucesivos, producidos a trozos, como por impulsos. Como el error cometido al realizar la estimación es menor cuanto menor sea el intervalo Δx se puede mejorar la aproximación de Δy dividiendo el intervalo Δx en subintervalos y suponiendo que la pendiente de la recta 2x varía de un intervalo a otro pero se mantiene constante dentro de cada uno de ellos. Cuantas más subdivisiones se realicen del intervalo las estimaciones totales se acercarán cada vez con más precisión al valor real. De ese modo se alcanza lo continuo a través de lo discreto, de manera que el sinequismo de Leibniz no se podría entender sin el atomismo de Newton.
Todo eso abrió la caja de los truenos, como escribió Engels: Con la introducción de la magnitudes variables y la ampliación de su variabilidad hasta lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, la matemática, tan rigurosa en general en sus costumbres, ha cometido su pecado original; ha comido la manzana del conocimiento, la cual le ha abierto la vía de los éxitos más gigantescos, pero también de sus errores. Se perdió para siempre el virginal estado de validez absoluta, de la inapelable demostración de todo lo matemático; empezó el reino de la controversias, y hemos llegado ahora a una situación en la cual la mayoría de la gente diferencia e integra no porque entienda lo que hace sino por mera fe porque el resultado ha sido hasta ahora siempre correcto (12).
En efecto, la fe penetraba en la matemática, que hasta el siglo XVII había concebido lo exacto de una manera estática e inmutable, como válido de una vez y para siempre. ¿Cómo conciliar la exactitud con la magnitud variable? Si una magnitud cambia, ¿cómo puede resultar exacta al mismo tiempo?
Las discusiones siguieron. En la serie de artículos de la Enciclopedia que consagró al cálculo, D'Alembert estableció una diferencia muy precisa entre Leibniz y Newton, oponiendo el supuesto embrollo filosófico de uno (Leibniz) a la claridad científica del otro (Newton). Según D'Alembert, el británico no ha tomado jamás el cálculo diferencial como el cálculo de cantidades infinitamente pequeñas, sino como el método de las primeras y últimas proporciones, es decir, el método de encontrar los límites de las relaciones, comprendiendo que la teoría de los límites es la verdadera base del cálculo diferencial. Por el contrario, criticó a Leibniz porque se puede prescindir muy cómodamente de toda esa metafísica del infinito en el cálculo diferencial.
Con el fin expreso de sustituir la noción de infinitesimal, Lagrange convocó un concurso de matemáticos en 1784 en la Academia de Berlín. Pero, ante la falta de respuestas satisfactorias, publicó su propia solución, tratando de apartar al cálculo de los infinitesimales y de colocar la noción de derivada en un lugar preeminente. Se proponía vaciar de significado físico a los diferenciales, evitando identificarlos con los infinitesimales y sacándolos para siempre de la matemática. El título completo de su obra lo decía todo acerca de su propósito: Teoría de las funciones analíticas que contienen los principios del cálculo diferencial depurados de toda consideración de los infinitamente pequeños o evanescentes, de límites o de fluxiones y reducidos al análisis algebraico de cantidades finitas. En lugar de hablar de dx y dy había que hablar de dy/dx. El concepto de diferencial dx es confuso; el de derivada dy/dx es transparente.
El éxito de la tesis de Lagrange ha separado a la matemática de sus aplicaciones prácticas en otras ciencias. Así se refleja en la distinta consideración que tienen de los infinitesimales: en la matemática no desempeñan ninguna función, mientras en todas las demás ciencias constituyen conceptos decisivos. La matemática ha renunciado a dar significado al concepto de infinitesimal; para ella sólo la derivada y la integral tienen importancia. Por el contrario, las demás ciencias –con otros nombres- siguen aludiendo a los infinitesimales.
Evidentemente, como reconoció Berkeley, Lagrange sólo había sorteado formalmente el problema para evitar contradicciones, ya que al final es preciso volver a la idea de los incrementos evanescentes. En el momento de las aplicaciones físicas, como se refleja en su Mecánica analítica, Lagrange recuperaba el uso de los infinitesimales. Volvía al punto de partida.
Aún en la actualidad la matemática sigue dando rodeos, como los de Lagrange, para eludir los infinitesimales, y la filosofía burguesa se ha tomado en serio ese esfuerzo quimérico. Por ejemplo, en España en el prólogo al Anti-Dühring que escribió en 1964, Manuel Sacristán critica la interpretación del cálculo infinitesimal que Engels realizó cien años antes en aquella obra, por una perniciosa infuencia de Hegel, porque la noción de infinitésimo es absurda y la de fluxión vaga e imprecisa. Afortunadamente, dice Sacristán, hoy las viejas antinomias del cálculo inifinitesimal están superadas por la matemática, que considera las variables como simples signos. A diferencia de Berkeley, Sacristán no llegó a obispo: no entendió el cálculo pero tampoco a Engels.
Los infinitésimos son especies nuevas de magnitudes engendradas por nuevas especies de operaciones. Como escribió Leibniz: El nuevo análisis de los infinitos no trata ni de las figuras, ni de los números, sino de las magnitudes en general [...] Muestra un algoritmo nuevo, es decir una nueva manera de sumar, de restar, de multiplicar, de dividir, de extraer, incluso a cantidades incomparables, es decir a aquellas que son infinitamente grandes, o infinitamente pequeñas en comparación con las demás. La operación x + dx = x no es, pues, ni incorrecta ni inexacta.
Los diferenciales son infinitamente más pequeños que las magnitudes que se diferencian y, en consecuencia, hay que considerarlas como incomparables entre sí. No se puede operar con ellas como se opera con magnitudes finitas. Sólo existe error si suponemos que los diferenciales dx son comparables a x. Con lo infinitamente pequeño sucede lo mismo que con lo infinitamente grande: respecto a dx la variable x es infinita. No hay ninguna diferencia entre la ecuación ¥ + 1 = ¥ y su equivalente infinitesimal: x + dx = x. Los infinitesimales también son una esponja aniquiladora, no añaden ni quitan nada de una cantidad. Tanto se puede decir que dx es un infintesimal respecto a x como que x es infinita respecto a dx.
Todo esto conduce a una tesis diferente al sinequismo que Leibniz quería defender: la continuidad no significa homogeneidad, de manera que sí se producen saltos, sí existe la discontinuidad. Como dirá irónicamente Engels: No hay saltos en la naturaleza precisamente porque la naturaleza está compuesta por entero de saltos (15). Cuando el postulado de continuidad de Arquímedes alude a dos valores extremos que se pueden recorrer a través de todos los puntos intermedios, tales valores extremos deben ser comparables, de manera que se pueda establecer, por ejemplo, una media entre ambos, una proporción. Entre el 2 y el 3 está el número intermedio 2'5. Pero sólo si se pueden comparar podremos hablar de magnitudes arquimedeanas, homogéneas. No obstante, hay otras magnitudes que son incomparables, que nada añaden a aquellas otras a las que se unen: dx no añade nada a x. Del mismo modo, un punto no añade nada a una recta; no se prolonga una recta añadiéndole un punto más.
300 años antes de nuestra época, Arquímedes ya estaba expresando una aplicación específica de la ley dialéctica de la transformación de los cambios cuantitativos en cambios cualitativos: una magnitud que, aunque próxima, no es nula, llega a anularse a partir de un determinado momento.
Este postulado es también una aplicación de salto de lo continuo a lo discreto, que requiere, como dice Leibniz, cierta consideración del infinito y el infinito sigue dando vértigo a los matemáticos (y a todos los científicos en general). Sólo Engels supo apreciarlo. Es el único que defiende el uso de infinitesimales sin ninguna clase de complejos, porque –afirma- la diferencia entre una cantidad cualquiera y un infinitésimo no es sólo cuantitativa sino cualitativa. Lo infinitamente grande no sólo es diferente de lo infinitamente pequeño sino que entre ambos hay una oposición cualitativa infranqueable. Entre cantidades tan dispares desaparece toda relación racional, toda comparación y se vuelven cuantitativamente incomensurables. Los infinitesimales –añade Engels- no son cantidades imaginarias sino que existen en la naturaleza. Para ello se apoya en el carácter relativo de las magnitudes. Por ejemplo, las distancias del sistema solar son infinitesimales en comparación con los años-luz en que se miden las distancias galácticas, y lo mismo cabe decir de unas masas terrestres en comparación con las de las grandes estrellas del universo, de manera que lo que parece misterioso e inexplicable en el caso de la diferencial, en la abstracción matemática, aquí parece tan corriente como si fuese evidente, por lo que se puede afirmar que la naturaleza opera con diferenciales (16).
Notas:
(1) Dialéctica de la naturaleza, Madrid, 1978, pg.212
(2) Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, Madrid, 1977, pg.51
(3) Engels, Dialéctica de la naturaleza, cit., pg.216
(4) Anti-Dühring, México, 2ª Edición, 1968, pgs.112-113 y 125
(5) Aristóteles, Metafísica, Madrid, 1985, pg.87
(6) Monadología, 61
(7) Discurso de metafísica, 10
(8) Nuevos ensayos, cit., pg.49
(9) Elementos de Geometría, Libro V, Definición 4
(10) Engels, Anti-Dühring, cit., pg.111
(11) Anti-Dühring, cit., pgs.127-128
(12) Anti-Dühring, cit., pgs.76-77
(13) Principios del conocimiento humano, Barcelona, 1999, pgs.93 y stes.
(14) Discurso de metafísica, 12
(15) Dialéctica de la naturaleza, cit., pg.215
(16) Dialéctica de la naturaleza, cit., pgs.206 y 213
